Distribució Binomial Negativa o Distribució de Pascal
1. Descripció
Considerem una sèrie d'assajos Bernoulli independents i sigui r el nombre exacte de vegades que apareix el succés A de probabilitat p. La variable aleatòria X, que denota el nombre d'errors abans del r-èsim èxit, té distribució Binomial Negativa. La variable binomial negativa també sol caracteritzar-se com el temps d'espera fins el n-èsim èxit, i s'aplica en estudis de fiabilitat i en situacions cícliques on s'alternen èxits i fracassos.
\[ X\sim BinNeg(r,p) \text{ amb } R_x=\{r,r+1,r+2,\dots\} \]
La distribució de probabilitats està donada per:
\[ P(X=x) = \binom{x-1}{r-1}p^r q^{x-r} \qquad x = r, r+1, r+2, \dots \]
Essent:
- \(p\) probabilitat de èxit en una sola proba Bernoulli,
- \(q = 1 - p\)
- \(x\) número de proves fins que s’observa el r-èsim èxit.
la mitjana y la variança de la variable aleatòria binomial negativa són:
\[ \mu = E(X) = \frac{r}{p} \qquad \sigma^2 = Var(X) = \frac{rq}{p^2} \]
La distribució de probabilitat binomial negativa és una funció de dos paràmetres, \(p\) i \(r\). Per al cas especial en què \(r = 1\), la distribució de probabilitat de \(x\) s'anomena distribució de probabilitat geomètrica.
\[ P(x) = pq^{x-1} \text{ essent } x = 1,2,3,\dots \]
\(x\) és el número de proves fins que s’observa el primer èxit.
\[ \mu = E(X) = \frac{1}{p} \qquad \sigma^2 = Var(X) = \frac{q}{p^2} \]
2. Exemples
2.1. Problema 1
Un fabricant utilitza fusibles elèctrics en un sistema electrònic. Els fusibles es compren en lots grans i es proven seqüencialment fins que s'observa el primer fusible defectuós. Suposeu que el lot conté 10% de fusibles defectuosos:
- Quina probabilitat hi ha que el primer fusible defectuós sigui un dels primers cinc fusibles provats?
- la mitjana, la variància i la desviació estàndard de \(x\), el nombre de fusibles provats fins observar-ne el primer fusible defectuós
2.2. Solució problema 1
- El nombre \(x\) de fusibles provats fins observar-ne el primer fusible defectuós, és una variable aleatòria geomètrica amb:
- \(p=0.1\) (Probabilitat que un sol fusible sigui defectuós)
- \(q=1-p=0.9\)
\[ \begin{eqnarray*} P(x\leq 5) &=& P(1) + P(2) + \cdots + P(5) \\ &=& 0.1\cdot 0.9^0 + 0.1\cdot 0.9^1 + \cdots + 0.1\cdot 0.9^4 \\ &=& 0.41 \end{eqnarray*} \]
- La media, la variança y la desviació estàndard de esta variable aleatòria geomètrica son:
\[ \begin{eqnarray*} \mu &=& \frac{1}{p} = \frac{1}{0.1} = 10 \\ \sigma^2 &=& \frac{q}{p^2} = \frac{0.9}{0.1^2} = 90 \\ \sigma &=& \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{90} = 9.49 \end{eqnarray*} \]