Distribució Exponencial
Continguts
1. Definició
Una distribució exponencial és un model de distribució que s’acostuma a utilitzar per variables que descriuen el temps fins que es produeix un determinat esdeveniment. Si els esdeveniments per unitat de temps segueixen una distribució de "Poisson" el temps entre dos esdeveniments segueix una distribució exponencial .
La seva funció de densitat és de la forma :
\[ f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & \text{per a } x\geq 0 \\ 0 & \text{altrament} \end{cases} \]
Un cop tenim la funció de densitat únicament l’hem d’integrar per obtenir la funció de distribució :
Sempre que \( X > 0\) tenim que:
\[ \int_{0}^{x} \lambda e^{-\lambda t} dt = \left. -e^{-\lambda t}\right]_{0}^{x} = 1 - e^{-\lambda x} \]
Per tant la funció de distribució és :
\[ F(x) = P(X\leq x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ 1 - e^{-\lambda x} & \text{si } x\geq 0 \end{cases} \]
2. Propietats:
Definirem varies propietats que considerem més importants d’aquesta distribució:
- Com podem veure a la gràfica de densitat la moda : \(M = 0\)
- La mitjana : \( \frac{1}{\lambda} \)
- La mediana : \( \frac{\ln 2}{\lambda} \)
- La esperança: \( E[X] = \frac{1}{\lambda} \)
- La variància : \( V(X) = \frac{1}{\lambda^2} \)
3. Exemple
En un experiment de laboratori s’utilitzen 10 g de \( \mbox{}^{210}_{84}Po \) sabent que la duració mitjana d’un àtom d’aquest material és de \( m = 140 \text{ dies} \). Quants dies passaran fins que s’hagin desintegrat un 90% ?
3.1. Solució :
El temps de desintegració d’un àtom de \( \mbox{}^{210}_{84}Po \) és una variació aleatòria de distribució exponencial.
A partir de la formula de la mitjana podem obtenir \( \lambda = 1 / m \) i per tant, \( \lambda = 1/140 \). Com que en 10 g de poloni hi ha una gran quantitat d’àtoms podem dir que els temps de desintegració segueix la corba de densitat d’una forma molt aproximada. També podem dir el mateix de la funció de distribució.
Per tant el temps necessari per la desintegració del 90 % del material és :
\[ F(t_{90}) = 0.9 \iff e^{-\lambda t_{90}} = 1 - 0.9 \iff t_{90} = -\frac{1}{\lambda}\ln 0.1 \approx 322 \text{ dies} \]
A partir del exemple em deduït el càlcul de variables aleatòries :
\[ x = -\frac{1}{\lambda}\ln (1 - u) \]
4. Per descarregar
En el següent document hi trobareu el treball sobre les distribucions exponencials per descarregar.